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Goldener Schnitt



Der Goldene Schnitt (lat. sectio aurea) ist ein bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen oder Größen. Es beträgt etwa 1,618:1. Streckenverhältnisse im Goldenen Schnitt werden in der Kunst und Architektur oft als ideale Proportion und als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie angesehen. Darüber hinaus tritt dieses Verhältnis auch in der Natur in Erscheinung und zeichnet sich durch eine Reihe interessanter mathematischer Eigenschaften aus. Weitere verwendete Bezeichnungen sind stetige Teilung und göttliche Teilung (lat. proportio divina).

 

Weiteres empfehlenswertes Fachwissen

Inhaltsverzeichnis

Definition und Goldene Zahl

 
Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren.

Dieses Verhältnis wird meist mit dem griechischen Buchstaben Φ (Phi) bezeichnet und Goldene Zahl genannt.

Bezeichnet man die längere Strecke mit a und die kürzere mit b, dann gilt damit

\frac{a}{b}= \frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a}

Daraus ergibt sich für das Verhältnis a zu b

\Phi = \frac{a}{b}= \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}618033988\dots
(Zur Berechnung des Zahlenwerts siehe unten)
  • Φ ist eine irrationale Zahl, das heißt sie lässt sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen. Es zeigt sich, dass sie in einem bestimmten Sinne die irrationalste aller Zahlen ist (siehe unten). Das bedeutet, dass sie sich vergleichsweise schlecht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen annähern lässt, ein Umstand, der wesentlich zu ihrer Bedeutung in der Natur und möglicherweise auch in der Kunst beiträgt. Allerdings ist Φ eine algebraische Zahl und nicht, wie z.B. die Kreiszahl π oder die eulersche Zahl e, transzendent.
  • Subtrahiert man die kürzere der beiden Strecken von der längeren, so erhält man eine noch kürzere Strecke, zu der die mittlere der drei Strecken wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht. Das folgt unmittelbar aus der obigen Definition, wenn man ausgehend von der Strecke a+b die Strecke b abzieht. Die Bezeichnung stetige Teilung bezieht sich auf den Umstand, dass dieser Vorgang beliebig oft wiederholbar ist und dabei stets das selbe Verhältnis liefert.

Geometrische Betrachtung

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Als Konstruktionsverfahren betrachtet man in der Geometrie nur diejenigen Verfahren, die sich auf die Verwendung von Zirkel und Lineal beschränken. Für die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes gibt es eine Fülle derartiger Verfahren. Hier seien exemplarisch einige erwähnt..

 
  • Das folgende Verfahren ist wegen seiner Einfachheit beliebt.
    1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt B eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
    2. Der Kreis um C mit dem Radius \overline{CB} schneidet die Verbindung AC im Punkt D.
    3. Der Kreis um A mit dem Radius \overline{AD} teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
 
  • Die folgende Vorschrift geht auf Euklid zurück.
    1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt A eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
    2. Der Kreis um C mit dem Radius \overline{CB} schneidet die Verlängerung von AC im Punkt D.
    3. Der Kreis um A mit dem Radius \overline{AD} teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Bei diesen beiden Beispielen spricht man von einer inneren Teilung der Ausgangsstrecke AB.

 
  • Im Folgenden zwei Beispiele für eine äußere Teilung, bei der der zu konstruierende Punkt außerhalb der Ausgangsstrecke liegt.
    1. Errichte auf der Strecke AS im Punkt S eine Senkrechte der Länge \overline{AS} mit dem Endpunkt C.
    2. Konstruiere die Mitte M der Strecke AS.
    3. Der Kreis um M mit dem Radius \overline{MC} schneidet die Verlängerung von AS im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
 
  • Das folgende Konstruktionsverfahren wurde erst 1982 von dem amerikanischen Mathematiker George Odom entdeckt.
    1. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck.
    2. Konstruiere den Umkreis, also den Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verläuft.
    3. Halbiere zwei Seiten des Dreiecks in den Punkten A und S.
    4. Die Verlängerung von AS schneidet den Kreis im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Beginnt man mit der Strecke AS, so ist zunächst das Dreieck zu konstruieren, was in mehreren Schritten problemlos möglich ist.

Künstler und Handwerker benutzten im 19. Jahrhundert zur Konstruktion beziehungsweise zur Überprüfung des Goldenen Schnittes einen Goldenen Zirkel. Er bestand etwa aus einem Zirkel, dessen beide Schenkel x-förmig nach oben zu einem zweiten Zirkel verlängert waren, und dessen Schenkellängen so gewählt waren, dass das Verhältnis der beiden eingestellten Abschnitte den Goldenen Schnitt bildete. Andere Instrumente hatten die Form eines Storchschnabels.

Pentagramm

    Das Pentagramm, eines der ältesten magischen Symbole der Kulturgeschichte, steht in einer besonders engen Beziehung zum Goldenen Schnitt.

Zu jeder Strecke und Teilstrecke im Pentagramm findet sich ein Partner, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht. In der Abbildung sind alle drei möglichen Streckenpaare jeweils blau (längere Strecke) und orange (kürzere Strecke) markiert. Sie lassen sich über das oben beschriebene Verfahren der stetigen Teilung nacheinander erzeugen. Im Prinzip ist es in das verkleinerte Pentagramm fortsetzbar, das man in das innere Fünfeck zeichnen könnte, und damit auch in alle weiteren. Stünden die beiden Strecken in einem Verhältnis ganzer Zahlen, müsste dieses Verfahren der fortgesetzten Subtraktion irgendwann Null ergeben und damit abbrechen. Die Betrachtung des Pentagramms zeigt aber anschaulich, dass das nicht der Fall ist.

Für den Beweis, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt, beachte man, dass neben den vielen Strecken, die aus offensichtlichen Symmetriegründen gleich lang sind, auch \overline{CD}=\overline{CC'} gilt. Ursache ist, dass das Dreieck DCC' zwei gleiche Winkel besitzt, wie man durch Parallelverschiebung der Strecke CC' erkennen kann, und daher gleichschenklig ist. Nach dem Strahlensatz gilt:

\frac{\overline{AB}}{\overline{BB'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{CC'}}

Ersetzt man \overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC} und beachtet die Gleichheit der auftretenden Teilstücke, so erhält man genau die obige Definitionsgleichung für den Goldenen Schnitt.

Goldenes Rechteck und Dreieck

Ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, bezeichnet man als Goldenes Rechteck. Ebenso nennt man ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem zwei Seiten in diesem Verhältnis stehen, Goldenes Dreieck.

Goldener Winkel

  Eine bedeutende Rolle spielt der so genannte Goldene Winkel Ψ (Psi). Man erhält ihn, wenn man die 360° des Vollkreises im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt. Bezeichnet man den kleineren dieser Winkel als Ψ1 und den größeren als Ψ2, so ergibt sich

\Psi_2 =  \frac{360^\circ}{\Phi}  \approx 222{,}5^\circ
Da sich Winkel kleiner als 180° für die Praxis als handlicher erweisen, wird gewöhnlich der kleinere Winkel Ψ1 als Goldener Winkel Ψ bezeichnet, das heißt
\Psi = 360^\circ - \frac{360^\circ}{\Phi}  \approx 137{,}5^\circ

Goldene Spirale

  Ein Goldenes Rechteck lässt sich in ein Quadrat und ein weiteres Goldenes Rechteck zerlegen. Durch wiederholte Teilung erhält man eine Figur, in die sich eine gewisse logarithmische Spirale einzeichnen lässt, die Goldene Spirale. Sie wird oft, wie in nebenstehender Abbildung, durch eine Folge von Viertelkreisen approximiert. Ihr Radius ändert sich bei jeder 90°-Drehung um den Faktor Φ.

r(\varphi) = a e^{k\varphi} mit Steigung k = {\ln{\Phi} \over \alpha\llcorner}; \alpha\llcorner ist hierbei der Zahlenwert für den rechten Winkel, also 90 oder π / 2
  • |k| = 0,005347\, in Grad
  • |k| = 0,306349\, in Radiant

Die schneckenförmigen Kalkgehäuse einiger Tierarten haben eine ähnliche Steigung, wie beispielsweise das des Nautilus. Bei den meisten dieser Tierarten ist die Steigung jedoch eher geringer.

Goldener Schnitt im Ikosaeder

  Die 12 Ecken des Ikosaeders bilden die Ecken von drei gleich großen, senkrecht aufeinanderstehenden Rechtecken mit gemeinsamem Mittelpunkt und mit den Seitenverhältnissen des Goldenen Schnittes. Die Anordnung der drei Rechtecke heißt auch Goldener-Schnitt-Stuhl.

Mathematische Eigenschaften

Herleitung des Zahlenwertes

In der mathematischen Literatur bezeichnet man den Goldenen Schnitt mit Φ, manchmal auch τ.

Aus der oben angegeben Definition folgt

\Phi = \frac{a}{b}= \frac{a+b}{a} = 1+\frac{b}{a} = 1+ \frac{1}{\Phi}

und daraus die quadratische Gleichung

Φ2 − Φ − 1 = 0

mit einer Lösung

\Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1{,}618033988749894848204586834365638\dots

Die zweite Lösung \bar \Phi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=1-\Phi=-{1\over\Phi} der quadratischen Gleichung ist negativ. Der Zusammenhang \Phi - 1 = - \bar \Phi ist interessant:

\bar  \Phi = - 0{,}618033988\dots
\bar \Phi ist also bis auf die erste Stelle zifferngleich mit Φ
  • \bar \Phi ist die algebraisch konjugierte Zahl zu Φ
  • Insbesondere folgt \Phi - \bar\Phi = \sqrt{5}

Etliche mathematische Zusammenhänge lassen sich unter gleichzeitiger Verwendung von Φ und \bar \Phi in besonders symmetrischer Weise schreiben.

Die Goldene Zahlenfolge

a0 = 1
n g
 6 17,944
 4  6,854
 3  4,236
 2  2,618
 1  1,618
 0  1,000
-1  0,618
-2  0,382
-3  0,236
-4  0,146
-6  0,056

Zu einer gegebenen Zahl a lässt sich die zugehörige kleinere Zahl b berechnen aus b = \left| \bar  \Phi \right| \cdot a, die nächst grössere A = a + b = \Phi \cdot a. Weil b eine Stecke der Länge a genauso „golden“ teilt, wie a die Strecke a + b, berechnet sich die kleinere Teilung c = ab von a zu c = \left| \bar  \Phi \right| \cdot b = \left| \bar  \Phi \right|^2 \cdot a und so fort, und analog für die größeren Zahlen.

Mit der Benennung \underline a_1 = b,\, \underline a_2 = c,\, \dots und \overline a_1 = A,\, \overline a_2 = a + A,\, \dots sowie \underline a_0 = \overline a_0 = a ergibt sich für beliebige Zahlen a:

\underline a_n = \left| \bar  \Phi \right|^n  \cdot a;\; n = 0, 1, 2,\, \dots – die untere Folge
\overline a_n = \Phi ^n  \cdot a;\; n = 0, 1, 2,\, \dots – die obere Folge

Oder, mit g_0 = a,\, g_{-1} = b,\, \dots und g_1 = A,\, g_2 = a + A\, \dots

g_n (a) = \Phi ^n  \cdot a;\; \forall n \in \mathbb{N} – die goldene Folge
Die goldene Folge ist eine Potenzfolge in Φ

Das erlaubt einfache Rechnungen:

  • Für ein beliebiges a ist also die untere Zahl \underline a \approx 0{,}618 \cdot a und die obere Zahl \overline a \approx 1{,}618 \cdot a (mit \overline a = \overline a_1 = g_1 (a),\, \underline a = \underline a_1 = g_{-1} (a)). Je drei beisammenstehende Zahlen ( \overline a, a, \underline a ) der goldenen Folge ergeben einen goldenen Schnitt.
  • Für eine gegebene Strecke der Länge a ergeben sich die beiden Teilstrecken des goldenen Schnitts zu 0{,}618 \cdot a und ( 0{,}618 )^2 \cdot a

Diese Folgen – und ihre diversen Differenz- und Summenfolgen – spielen insbesondere in der Proportionslehre in Kunst und Architektur eine wichtige Rolle, weil sich zu einen gegebenen Zahl andere „dazupassende“ Zahlen einfach erzeugen lassen. Dadurch lassen sich auch Maße, die „weit auseinanderliegen“ (etwa die Fensterbreite zur Raumbreite) in Bezug setzen, und ganze Serien harmonischer Maße erstellen.

Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen

  Nenner      Zähler      Verhältnis      Abweichung  
  zu Φ in %   
1 1 1,000000 -38,1966
1 2 2,000000 23,6068
2 3 1,500000 -7,2949
3 5 1,666667 3,00566
5 8 1,600000 -1,11456
8 13 1,625000 0,43052
13 21 1,615385 -0,16374
21 34 1,619048 0,06265
34 55 1,617647 -0,02392
55 89 1,618182 0,00914
89 144 1,617977 -0,00349
144 233 1,618056 0,00133

In einem engen Zusammenhang zum Goldenen Schnitt steht die unendliche Zahlenfolge der Fibonacci-Zahlen

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...,
die auf Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci (13. Jahrhundert), zurückgeht. Die jeweils nächste Zahl in dieser Folge erhält man als Summe der beiden vorangehenden. Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen strebt gegen den Goldenen Schnitt, ein Umstand, der bereits Johannes Kepler bekannt war.

Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Folge an strebt gegen den Goldenen Schnitt (siehe Tabelle). Das legt das rekursive Bildungsgesetz an + 1 = an + an − 1 nahe. Danach gilt

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{a_n+a_{n-1}}{a_n} = 1+\frac{a_{n-1}}{a_n}.

Sofern dieses Verhältnis gegen einen Grenzwert Φ konvergiert, muss daher für ihn gelten

\Phi= 1+\frac{1}{\Phi}.

Diese Beziehung gilt aber gerade für den Goldenen Schnitt, wie der Vergleich mit der ersten Gleichung des vorangehenden Abschnitts zeigt. Diese Argumentation gilt auch für verallgemeinerte Fibonacci-Folgen mit zwei beliebigen Anfangsgliedern. Wie die Tabelle zeigt, sind die Brüche abwechselnd größer und kleiner als der Goldenen Schnitt.

Die Glieder der Fibonacci-Folge lassen sich auch über die Formel von Binet berechnen:

a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}(\Phi^n - \bar \Phi^n)

Die Ganzzahligkeit der Folgenglieder ist dadurch gewährleistet, dass sich ungerade Potenzen von √5 stets aufheben.

Der Goldene Schnitt als irrationalste und nobelste aller Zahlen

Der Goldene Schnitt ist eine irrationale Zahl, das heißt er lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. In einem gewissen Sinne erweist er sich als die irrationalste aller Zahlen, eine Eigenschaft, die für seine Rolle in der Botanik und möglicherweise auch in der Kunst von Bedeutung ist. Diese Eigenschaft äußert sich darin, dass sich der Goldene Schnitt vergleichsweise schlecht durch rationale Zahlen approximieren lässt. Das ist beispielsweise bei der ebenfalls irrationalen Kreiszahl π anders. Sie lässt sich durch den Bruch 22/7 mit einer Abweichung von nur 0,04 % approximieren. Einen derartig geringen Fehler würde man im allgemeinen erst bei einem sehr viel größeren Nenner erwarten.

Der Goldene Schnitt lässt sich direkt aus der Forderung nach maximaler Irrationalität konstruieren. Um das zu verstehen, betrachte man das folgende Verfahren zur Approximation beliebiger Zahlen durch einen Bruch am Beispiel der Zahl π. Wir zerlegen diese Zahl zunächst in ihren ganzzahligen Anteil und einen Rest, der kleiner als 1 ist: π = 3 + Rest. Der Kehrwert dieses Restes ist eine Zahl, die größer als 1 ist. Sie lässt sich daher wiederum zerlegen in einen ganzzahligen Anteil und einen Rest kleiner 1: π = 3 + 1 / (7 + Rest). Verfährt man mit diesem Rest und allen folgenden ebenso, dann erhält man die so genannte unendliche Kettenbruchdarstellung der Zahl π

\pi = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1 + \cdots}}}.

Man kann nun zeigen, dass man die Brüche, mit denen man eine Zahl optimal approximieren kann, genau dann erhält, wenn man ihre Kettenbruchentwicklung an irgendeiner Stelle abbricht. Je nach Abbruchstelle erhält man auf diese Weise für π die Zahlen 3, 22/7, 333/106, 355/113, ..., die rasch gegen π streben. Für jeden einzelnen dieser Brüche gilt, dass es keinen Bruch mit einem kleineren Nenner gibt, der π besser approximiert.

Im obigen Kettenbruch erscheint vor jedem Pluszeichen eine ganze Zahl. Je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist der Bruch, in dessen Nenner sie steht, und umso kleiner ist daher auch der Fehler, der entsteht, wenn der unendliche Kettenbruch vor diesem Bruch abgebrochen wird. Die größte Zahl im obigen Abschnitt des Kettenbruchs ist die 15. Das ist der Grund, warum 22/7 eine derart gute Approximation für π darstellt.

In Umkehrung dieser Argumentation folgt nun, dass die Approximation besonders schlecht ist, wenn die Zahl vor dem Pluszeichen besonders klein ist. Die kleinste zulässige Zahl dort ist aber die 1. Der Kettenbruch, der ausschließlich Einsen enthält, hält daher von allen rationalen Zahlen maximal Abstand und ist in diesem Sinn die irrationalste aller Zahlen.

Für den Goldenen Schnitt gilt nun aber Φ = 1 + 1/Φ (siehe oben), woraus sich durch wiederholte Anwendung ergibt

\Phi = 1 + \frac{1}{\Phi} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\Phi}} = \cdots = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}}.

Das heißt, der Goldene Schnitt Φ ist die irrationalste aller Zahlen. Bricht man diese Kettenbruchzerlegung an irgendeiner Stelle ab, so erhält man stets einen Bruch aus zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen.

Zahlen, deren unendliche Kettenbruchdarstellung ab irgendeiner Stelle nur noch Einsen enthält, bezeichnet man als noble Zahlen. Der Goldene Schnitt ist damit auch die nobelste Zahl.

Weitere mathematische Eigenschaften

  • Aus Φ2 = 1 + Φ lässt sich folgende unendliche Kettenwurzel herleiten:
\Phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}
  • Das Quadrat Φ2 = Φ + 1 und jede höhere ganzzahlige Potenz von Φ lassen sich als Summe aus einem Vielfachen von Φ und einem Vielfachen von 1 darstellen. Auf dieser Eigenschaft beruht die fundamentale Bedeutung des goldenen Schnitts für quasiperiodische Gitter (siehe Quasikristall).
  • In der Trigonometrie gilt unter anderem
sin(π/10) = (Φ-1)/2
sin(3π/10) = Φ/2
Dabei lässt sich π/10 als die Hälfte des Winkels in der Spitze des Pentagramms interpretieren und 3π/10 als die Hälfte des stumpfen Außenwinkels. Gelegentlich wird die Rolle des Goldenen Schnitts für das Fünfeck als vergleichbar bedeutend bezeichnet wie die der Kreiszahl π für den Kreis.
  • Der goldene Schnitt lässt sich auch mit Hilfe der Eulerschen Zahl und der hyperbolischen Areasinus-Funktion ausdrücken:
\Phi^{\pm1} = e^{\mathrm{arsinh} \pm\frac{1}{2}}
  • Der goldene Schnitt ist einer der 3 Eigenwerte des optimal vorkonditionierten Systems bei Anwendung des PMINRES-Verfahrens zur iterativen Lösung eines großen dünnbesetzten linearen Gleichungssystems.

Geschichte

Hippasos von Metapont (um 450 v. Chr.), der dem Geheimbund der Pythagoreer angehörte, entdeckte bei seinen Untersuchungen am Fünfeck, dass das Verhältnis von Kantenlänge zu Diagonale nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist. Dieses Ergebnis stand im Widerspruch zu der Überzeugung der Pythagoreer, dass die Welt sich vollständig durch ganze Zahlen beschreiben lässt. Ironischerweise fand sich nun die Widerlegung dieser Ansicht ausgerechnet im Pentagramm, dem Symbol der Pythagoreer. Hippasos entdeckte damit das Phänomen der irrationalen Zahlen anhand der Inkommensurabilität von Strecken, sowie zwei Größen, die im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen. Unbestätigten Berichten zufolge verbreitete er seine Entdeckung entgegen den Regeln seines Geheimbundes in der Öffentlichkeit und wurde daher zur Strafe ertränkt.

Die erste genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes stammt von Euklid (um 300 v. Chr.), der darauf über seine Untersuchungen an den platonischen Körpern und dem Fünfeck beziehungsweise dem Pentagramm stieß. Seine Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde später als „proportio habens medium et duo extrema“ übersetzt, was heute als „Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ bezeichnet wird.

  Später beschäftigte sich der Franziskanermönch Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445–1514), der an der Universität von Perugia Mathematik lehrte, mit Euklids Arbeiten. Er nannte diese Streckenteilung Göttliche Teilung, was sich auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit den fünf platonischen Körpern bezog, zu deren Konstruktion der Goldene Schnitt ein wichtiges Hilfsmittel darstellt. Sein gleichnamiges Werk „De Divina Proportione“ von 1509 besteht aus drei unabhängigen Büchern. Bei dem ersten handelt es sich um eine rein mathematische Abhandlung, die jedoch keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt. Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. zur Architektur, in denen Vitruv die Proportionen des menschlichen Körpers als Vorlage für Architektur darstellt. Dieses Buch enthält eine Studie von Leonardo da Vinci (1452-1519) über den vitruvianischen Menschen. Das Verhältnis von Quadratseite zu Kreisradius in diesem berühmten Bild entspricht mit einer Abweichung von 1,7% dem Goldenen Schnitt, der jedoch im zugehörigen Buch gar nicht erwähnt wird. Darüber hinaus würde man diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht erwarten.

Die erste bekannte Berechnung [1] des Goldenen Schnitts als „ungefähr 1,6180340“ schrieb der Tübinger Professor Michael Maestlin 1597 in einem Brief an seinen früheren Schüler Johannes Kepler.

In Abhandlungen verschiedener Autoren im 19. Jahrhundert, insbesondere von dem Philosophen Adolf Zeising[2], wurden diese beiden Schriften zu der These kombiniert, Pacioli hätte in der „De Divina Proportione” in Zusammenarbeit mit Leonardo da Vinci einen Zusammenhang zwischen Kunst und Goldenem Schnitt hergestellt und damit seine Wiederentdeckung für die Malerei der Renaissance begründet. Zeising war von der Existenz eines Naturgesetzes der Ästhetik überzeugt, dessen Basis der Goldene Schnitt sein müsse. Er suchte und fand den Goldenen Schnitt überall. Seine Schriften verbreiteten sich rasch und begründeten eine wahre Euphorie bezüglich des Goldenen Schnitts. Andererseits zeigt eine Literaturanalyse, dass vor Zeising niemand in den Werken der Antike oder Renaissance den Goldenen Schnitt zu erkennen glaubte. Entsprechende Funde sind daher heute unter Kunsthistorikern eher umstritten.

Die Bezeichnung Goldener Schnitt wurde erstmals 1835, nur wenige Jahre zuvor, von Martin Ohm (1792–1872; Bruder von Georg Simon Ohm) in einem Lehrbuch der Mathematik verwendet.[3] Auch die Bezeichnung sectio aurea entstand erst in dieser Zeit.

Gustav Theodor Fechner, ein Begründer der experimentellen Psychologie, stellte 1876 bei Untersuchungen mit Versuchpersonen anhand von Rechtecken in der Tat eine Präferenz für den Goldenen Schnitt fest.[4] Die Ergebnisse bei der Streckenteilung und bei Ellipsen fielen jedoch anders aus. Neuzeitliche Untersuchungen zeigen, dass das Ergebnis solcher Experimente stark vom Kontext der Darbietung abhängt. Fechner fand ferner bei Vermessungen von Bildern in verschiedenen Museen Europas, dass die Seitenverhältnisse im Hochformat im Mittel etwa 4:5 und im Querformat etwa 4:3 betragen und sich damit deutlich vom Goldenen Schnitt unterscheiden.

Anfang des 20. Jahrhunderts fanden die Schriften des Rumänen Matila Costiescu Ghyka (1927) zum Goldenen Schnitt Beachtung, der den religiösen Aspekt von Pacioli mit dem ästhetischen von Zeising verband. Er interpretierte den Goldenen Schnitt als fundamentales Geheimnis des Universums und führte dazu vor allem Beispiele in der Natur an.

Ende des 20. Jahrhunderts suchte die Kunsthistorikerin Marguerite Neveux mit röntgenanalytischen Verfahren unter der Farbe von Originalgemälden, die angeblich den Goldenen Schnitt enthalten, vergeblich nach entsprechenden Markierungen oder Konstruktionsspuren.[5]

Die Bedeutung des goldenen Schnitts

Vergleich mit anderen Teilungsverhältnissen

Ein möglicher Grund für die Beliebtheit des Goldenen Schnittes ist in seinem hohen Grad an Irrationalität zu sehen. Das bedeutet, dass er sich von allen Verhältnissen kleiner ganzer Zahlen, wie beispielsweise 2 : 3 oder 3 : 4, deutlich abhebt, was in bestimmten ästhetischen Zusammenhängen erwünscht sein kann. Möglicherweise wurde und wird er oft auch unbewusst und ohne exakte Maßkontrolle intuitiv gewählt.

Die folgende Abbildung vergleicht verschiedene Rechtecke mit prominenten Seitenverhältnissen in der Umgebung von Φ. Angegeben ist jeweils das Verhältnis von Höhe zu Breite und der entsprechende Zahlenfaktor:


Papier- und Bildformate

Im Buchdruck wurde früher gelegentlich die Nutzfläche einer Seite, der so genannte Satzspiegel, so positioniert, dass das Verhältnis von Bundsteg zu Kopfsteg zu Außensteg zu Fußsteg sich wie 2:3:5:8 verhielt. Diese Wahl von Fibonacci-Zahlen approximiert den Goldenen Schnitt.

Typische Einsatzgebiete (der obigen Rechtecke, von links nach rechts):

  • 4 : 3 - Traditionelles Fernsehformat und Ballenformat für Packpapier. In der Regel auch bei Computermonitoren verwendet (z. B. 1024 × 768 Pixel). Dieses Format geht zurück auf Thomas Alva Edison, der 1889 das Format des klassischen Filmbildes (35-mm-Film) auf 24 × 18 mm festlegte.
  • 2 : 1 - Das Seitenverhältnis beim DIN-A4-Blatt und verwandten DIN/EN/ISO-Maßen. Bei einer Halbierung durch einen Schnitt, der die längeren Seiten des Rechtecks halbiert, entstehen wiederum Rechtecke mit dem selben Seitenverhältnis.
  • 3 : 2 - Seitenverhältnis beim Kleinbildfilm (36 mm × 24 mm).
  • Φ : 1 - Seitenverhältnis im Goldenen Schnitt. Entspricht dem historischen Buchformat Oktav. Hier approximiert durch 144 × 89 Pixel mit einem theoretischen Fehler von nur 5·10-5. Die beiden benachbarten Rechtecke weisen Seitenverhältnisse von aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen auf und approximieren daher ebenfalls den Goldenen Schnitt vergleichsweise gut.
  • 5 : 3 - Findet neben dem noch breiteren 1 : 1,85 als Kinoformat Verwendung.
  • 16 : 9 - Breitbildfernsehen.

Proportionslehre

Architektur

  Frühe Hinweise auf die vermutlich unbewusste Verwendung des Goldenen Schnittes stammen aus der Architektur. Die Schriften des griechischen Geschichtsschreibers Herodot zur Cheops-Pyramide werden gelegentlich dahingehend ausgelegt, dass die Höhe der Seitenfläche zur Hälfte der Basiskante im Verhältnis des Goldenen Schnittes stünde. Die entsprechende Textstelle ist jedoch nur interpretierbar. Andererseits wird auch die These vertreten, dass das Verhältnis 2:π für Pyramidenhöhe zu Basiskante die tatsächlichen Maße noch besser widerspiegele. Der Unterschied beider Thesen beträgt 1,0 Promille.

Viele Werke der griechischen Antike werden als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen wie beispielsweise die Vorderfront des 447–432 v. Chr. unter Perikles erbauten Parthenon-Tempels auf der Athener Akropolis. Da zu diesen Werken keine Pläne überliefert sind, ist nicht bekannt, ob diese Proportionen bewusst oder intuitiv gewählt wurden.

Auch in späteren Epochen finden sich zahlreiche Beispiele für die goldene Proportion, wie etwa der Dom von Florenz, die Notre Dame in Paris oder die Torhalle in Lorsch (770 n. Chr.)

Es gibt jedoch keinen empirischen Nachweis für eine signifikant größere Häufigkeit des Goldenen Schnittes in diesen Epochen im Vergleich zu anderen Teilungsverhältnissen. Ebenso fehlen historische Belege für eine absichtliche Verwendung des Goldenen Schnitts.

Ein Beispiel für die bewusste Umsetzung des Goldenen Schnitts ist das Alte Rathaus in Leipzig, ein Renaissancebau aus den Jahren 1556/57. Der aus der Mittelachse gerückte Rathausturm galt als architektonische Avantgardeleistung der damaligen Zeit und stand mit dem dadurch verursachten Wirbel und Aufruhr für das städtische Selbstbewusstsein der Stadt.

Der Architekt und Maler Le Corbusier (1887–1965) entwickelte ab 1940 ein einheitliches Maßsystem basierend auf den menschlichen Maßen und dem Goldenen Schnitt. Er veröffentlichte es 1949 in seiner Schrift Der Modulor, die zu den bedeutendsten Schriften der Architekturgeschichte beziehungsweise -theorie gezählt wird. Bereits 1934 wurde ihm für die Anwendung mathematischer Ordnungsprinzipien von der Universität Zürich der Titel doctor honoris causa der mathematischen Wissenschaften verliehen.

Kunst

Inwieweit die Verwendung des Goldenen Schnittes in der Kunst zu besonders ästhetischen Ergebnissen führt, ist letztlich eine Frage der jeweils herrschenden Kunstauffassung. Für die generelle These, dass diese Proportion besonders ansprechend und harmonisch empfunden wird, gibt es keine gesicherten Belege. Viele Künstler setzten den Goldenen Schnitt bewusst ein, bei vielen Werken wurden Kunsthistoriker erst im Nachhinein fündig. Diese Befunde sind jedoch angesichts der Fülle von Kandidaten für den Goldenen Schnitt, wie man sie beispielsweise in einem reich strukturierten Gemälde finden kann, oft umstritten.

So werden zahlreichen Skulpturen griechischer Bildhauer, wie der Apollo von Belvedere, der Leochares (um 325 v. Chr.) zugeschrieben wird, oder Werke von Phidias (5. Jhd. v. Chr.) als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen. Auf letzteren bezieht sich auch die heute oft übliche Bezeichnung Φ für den Goldenen Schnitt, die von dem amerikanischen Mathematiker Mark Barr eingeführt wurde. Die ebenfalls gelegentlich verwendete Bezeichnung τ bezieht sich dagegen auf das griechische Wort „tome” für „Schnitt”.

Der Goldene Schnitt wird auch in vielen Gemälden der Renaissance vermutet, wie bei Raffael, Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer, zum Beispiel bei Dürers Selbstbildnis von 1500 und seinem Kupferstich Melencolia I von 1514.

Künstler der Neuzeit, die den Goldenen Schnitt bewusst einsetzten, sind beispielsweise Mondrian, Paul Signac und Georges Seurat, Hergé oder auch die Künstler der Section d'Or.

Auch in der Fotografie wird der Goldene Schnitt zur Bildgestaltung eingesetzt, wie beispielsweise von dem französischen Fotograf Henri Cartier-Bresson. Als Faustformel verwendet man hier die Drittel-Regel.

Akustik und Musik

Intervalle

In der Musik werden Töne als konsonant empfunden, wenn das Verhältnis ihrer Schwingungsfrequenzen ein Bruch aus kleinen ganzen Zahlen ist. Tonleitern mit irrationalen Schwingungsverhältnissen, wie beispielsweise dem des Goldenen Schnittes, spielen daher allenfalls in der experimentellen Musik oder in speziellen Kulturkreisen eine Rolle. Dass eine Annäherung dieses Verhältnisses zum Goldenen Schnitt hin nicht unbedingt zu einem wohlklingenden Intervall führt, lässt sich daran erkennen, dass unter den Tonintervallen, deren Schwingungsverhältnis aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen entspricht, höchstens die Quinte mit einem Schwingungsverhältnis von 3:2 herausragt. Die große Terz mit einem Schwingungsverhältnis von 5:4 wird schon als harmonischer empfunden als die große Sexte mit 5:3 und die kleine Sexte mit 8:5. Da ein Tonintervall im Goldenen Schnitt nur etwa 19 Cent größer ist als eine kleinen Sexte, ist es für ein wenig geschultes Ohr nur schwer von dieser zu unterscheiden ( Audiobeispiel ?/i).

Komposition

Der Goldene Schnitt wird gelegentlich auch in Strukturkonzepten von Musikstücken vermutet. So hat der ungarische Musikwissenschaftler Ernö Lendvai versucht, den Goldenen Schnitt als wesentliches Gestaltungsprinzip der Werke Béla Bartóks nachzuweisen. Seiner Ansicht nach hat Bartók den Aufbau seiner Kompositionen so gestaltet, dass die Anzahl der Takte in einzelnen Formabschnitten Verhältnisse bilden, die den Goldenen Schnitt approximieren. Allerdings sind seine Berechnungen umstritten. Ferner gibt es für eine bewusste Verwendung des Goldenen Schnitts durch Bartók keine Belege.

Instrumentenbau

Der Goldene Schnitt wird gelegentlich im Musikinstrumentenbau verwendet. Insbesondere beim Geigenbau soll er für besonders klangschöne Instrumente bürgen. So wird auch behauptet, dass der berühmte Geigenbauer Stradivari den Goldenen Schnitt verwendete, um die klanglich optimale Position der F-Löcher für seine Violinen zu berechnen.

Vorkommen in der Natur

Biologie

  Das spektakulärste Beispiel für die Realisierung des Goldenen Schnitts in der Natur findet sich bei der Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) und in Blütenständen mancher Pflanzen. Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn man die beiden Blattwurzeln durch eine Parallelverschiebung eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung bringt. Es handelt sich um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°.

Beispiele sind die Sonnenblume, Kohlarten, Kiefernnadel an jungen Ästen, Zapfen, Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten und die Blütenblätter der Rose, um nur einige zu nennen.

Ursache ist das Bestreben dieser Pflanzen, ihre Blätter auf Abstand zu halten. Es wird vermutet, dass sie dazu an jeder Blattwurzel einen Inhibitor produziert, einen speziellen Wachstumshemmer, der im Pflanzenstamm vor allem nach oben, in geringerem Umfang aber auch in seitlicher Richtung diffundiert. Dabei bilden sich in verschiedene Richtungen bestimmte Konzentrationsgefälle aus. Das nächste Blatt entwickelt sich an einer Stelle des Umfangs, wo die Konzentration minimal ist. Dabei stellt sich ein bestimmter Winkel zum Vorgänger ein. Würde dieser Winkel den Vollkreis im Verhältnis einer rationalen Zahl m/n teilen, dann würde dieses Blatt genau in die gleiche Richtung wachsen wie dasjenige n Blätter zuvor. Der Beitrag dieses Blattes zur Konzentration des Inhibitors ist aber an dieser Stelle gerade maximal. Daher stellt sich ein Winkel mit einem Verhältnis ein, das alle rationalen Zahlen meidet. Die Zahl, die in diesem Sinne die irrationalste aller Zahlen ist, ist nun aber gerade der Goldene Schnitt (siehe unten). Da bisher kein solcher Inhibitor isoliert werden konnte, werden auch andere Hypothesen diskutiert, wie beispielsweise die Steuerung dieser Vorgänge in analoger Weise durch Konzentrationsverteilungen von Nährstoffen.

Der Nutzen für die Pflanze könnte darin bestehen, dass auf diese Weise von oben einfallendes Sonnenlicht (bzw. Wasser und Luft) optimal genutzt wird, eine Vermutung, die bereits Leonardo da Vinci äußerte, oder auch im effizienteren Transport der durch Photosynthese entstandenen Zuckerlösung in Phloem-Leitbündeln nach unten. Die Wurzeln von Pflanzen weisen den Goldenen Winkel weniger deutlich auf. Bei anderen Pflanzen wiederum treten Blattspiralen mit anderen Stellungswinkeln zutage. So wird bei manchen Kakteenarten ein Winkel von 99,5° beobachtet, der mit der Variante der Fibonacci-Folge 1, 3, 4, 7, 11, ... korrespondiert. In Computersimulationen des Pflanzenwachstums lassen sich diese verschieden Verhaltensweisen durch geeignete Wahl der Diffusionskoeffizienten des Inhibitors provozieren.

  Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang so genannte Fibonacci-Spiralen aus. Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang des Pflanzenstammes besonders klein ist. Sie werden nicht von aufeinander folgenden Blättern gebildet, sondern von solchen im Abstand n, wobei n eine Fibonacci-Zahl ist. Solche Blätter befinden sich in enger Nachbarschaft, denn das n-fache des Goldenen Winkels Ψ ist ungefähr ein Vielfaches von 360° wegen

n \Psi = n \frac{360^\circ}{\Phi} \approx n \frac {m}{n} 360^\circ = m \,360^\circ,

wobei m die nächst kleinere Fibonacci-Zahl zu n ist. Da jedes der Blätter zwischen diesen beiden zu einer anderen Spirale gehört, sind n Spiralen zu sehen. Ist n/m größer als Φ so ist das Verhältnis der beiden nächsten Fibonacci-Zahlen kleiner und umgekehrt. Daher sind in beide Richtungen Spiralen zu aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu sehen. Der Drehsinn der beiden Spiralentypen ist dem Zufall überlassen, sodass beide Möglichkeiten gleich häufig auftreten.

   

Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen in Blütenständen, wie beispielsweise bei Sonnenblumen. Pflanzenarchitektonisch entsprechen den einzelnen Samen Blätter, wobei jedes einzelne einem eigenen Kreis um den Mittelpunkt des Blütenstandes zugeordnet werden kann, so als hätte man einen Pflanzenstamm mit seinen Blättern wie ein Teleskop zusammengeschoben. Wachtumstechnisch aufeinander folgende Samen liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben. Im äußeren Bereich von Sonnenblumen zählt man 34 und 55 Spiralen, bei größeren Exemplaren 55 und 89 oder sogar 89 und 144. Die Abweichung vom mathematischen Goldenen Winkel, die in diesem Fall nicht überschritten wird, beträgt weniger als 0,01 Prozent.

Der Goldene Schnitt lässt sich natürlich auch über radiärsymmetrische fünfzählige Blüten konstruieren wie beispielsweise bei der Glockenblume, der Akelei und der (wilden) Heckenrose. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern nächster Nachbarn zu dem der übernächsten steht wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich in diesem Verhältnis. Das betrifft natürlich auch Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie.

  Darüber hinaus wird der Goldene Schnitt auch im Verhältnis der Längen aufeinander folgender Stängelabschnitte mancher Pflanzen vermutet wie beispielsweise bei der Pappel. Auch im Efeublatt stehen die Blattachsen a und b (siehe Abbildung) ungefähr im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Diese Beispiele sind jedoch umstritten.

Noch im 19. Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, der Goldene Schnitt sei ein göttliches Naturgesetz und in vielfacher Weise auch in den Proportionen des menschlichen Körpers realisiert. So nahm Adolf Zeising in seinem Buch über die Proportionen des menschlichen Körpers[2] an, dass der Nabel die Körpergröße im Verhältnis des Goldenen Schnitts teile, und der untere Abschnitt werde durch das Knie wiederum so geteilt. Ferner scheinen die Verhältnisse benachbarter Teile der Gliedmaßen wie beispielsweise bei Ober- und Unterarm sowie bei den Fingerknochen ungefähr in diesem Verhältnis zu stehen. Eine genaue Überprüfung ergibt jedoch Streuungen des Verhältnisses im 20-Prozent-Bereich. Oft enthält auch die Definition, wie beispielsweise die Länge eines Körperteils exakt zu bestimmen sei, eine gewisse Portion Willkür. Ferner fehlt dieser These bis heute eine wissenschaftliche Grundlage. Es dominiert daher weitgehend die Ansicht, dass diese Beobachtungen lediglich die Folge gezielter Selektion von benachbarten Paaren aus einer Menge von beliebigen Größen sind.

Bahnresonanzen

Seit langem ist bekannt, dass die Umlaufzeiten mancher Planeten und Monde in Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen wie beispielsweise Jupiter und Saturn mit 2:5 oder die Jupitermonde Io, Ganymed und Europa mit 1:2:4. Derartige Bahnresonanzen stabilisieren die Bahnen der Himmelskörper langfristig gegen kleinere Störungen. Erst 1964 wurde entdeckt, dass auch hinreichend irrationale Verhältnisse, wie sie beispielsweise im Fall 1:Φ vorliegen würden, stabilisierend wirken können. Derartige Bahnen werden KAM-Bahnen genannt, wobei die drei Buchstaben für die Namen der Entdecker Andrei Kolmogorow, V. I. Arnold und Jürgen Moser stehen.

Kristallstrukturen

Der Goldene Schnitt tritt auch bei den Quasikristallen der Festkörperphysik in Erscheinung, die 1984 von D. Shechtman und seinen Kollegen entdeckt wurden. Dabei handelt es sich um Strukturen mit fünfzähliger Symmetrie, aus denen sich aber, wie bereits Kepler erkannte, keine streng periodischen Kristallgitter aufbauen lassen, wie dies bei Kristallen üblich ist. Entsprechend groß war die Überraschung, als man bei Röntgenstrukturanalysen Beugungsbilder mit fünfzähliger Symmetrie fand. Diese Quasikristalle bestehen strukturell aus zwei verschieden rhomboedrischen Grundbausteinen, mit denen man den Raum zwar lückenlos, jedoch ohne globale Periodizität füllen kann (Penrose-Parkettierung). Beide Rhomboeder setzten sich aus den gleichen rautenförmigen Seitenflächen zusammen, die jedoch unterschiedlich orientiert sind. Die Form dieser Rauten lässt sich nun dadurch definieren, dass ihre Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen.

Informatik

In der Informatik verwendet man Hashtabellen zum Speichern von Daten. Mittels einer Hashfunktion h berechnet man zum Datensatz k den Hashwert h(k), der die Position angibt, an der der Datensatz in der Tabelle gespeichert wird. Um schnell auf gespeicherte Datensätze zugreifen zu können, müssen die Datensätze möglichst gleichmäßig verteilt in die Tabelle geschrieben werden. Eine Möglichkeit für die Hashfunktion ist die multiplikative Methode bei der die Hashwerte für eine Tabelle der Größe m nach der folgenden Formel berechnet werden.

h(k) = \lfloor  m (k \phi - \lfloor k \phi \rfloor)\rfloor

Dabei stellen \lfloor \ldots \rfloor Gaußklammern dar, die den Klammerinhalt auf die nächste ganze Zahl abrunden. Für den Wert der frei wählbaren Konstanten φ wird oft der Goldene Schnitt vorgeschlagen, um eine gute Verteilung der Datensätze zu erhalten.

Siehe auch

  • Harmonische Teilung, eine weitere Teilung der Ästhetik
  • Mathematische Konstanten
  • Liste besonderer Zahlen

Literatur

Historische Literatur:

  • Fra Luca Pacioli: Divina Proportione (Venedig 1509), hg. und übers. von Constantin Winterberg, Wien: Verlag Carl Graeser 1888 Print on Demand.
  • Martin Ohm: Lehrbuch der gesamten höhern Mathematik. Bd 2. Friedrich Volckmar, Leipzig 1835, 1837. (weniger abstrakt, mehr anschaulich)
  • Adolf Zeising: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. Leipzig 1854.
  • Adolf Zeising: Das Normalverhältniss der chemischen und morphologischen Proportionen. Rudolph Weigel, Leipzig 1856.
  • Gustav Theodor Fechner: Zur experimentalen Ästhetik., Hirzel, Leipzig 1871. (Vorschule der Ästhetik)

Neuere Literatur:

  • Hans Walser: Der Goldene Schnitt. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2004. ISBN 3-937219-00-5 (anschaulich geschriebenes Standardwerk des Basler Mathematikers)
  • Dr. Ruben Stelzner: Der goldene Schnitt und das Mysterium der Schönheit. in: Tycho de Brahe Jahrbuch. Tycho-Brahe-Verl., Niefern-Öschelbronn 2005. ISBN 3-926347-28-7 ISSN 0177-168X (naturwissenschaftlich-philosophische Darstellung)
  • P. H. Richter, H.-J. Scholz: Der Goldene Schnitt in der Natur. in: Ordnung aus dem Chaos. Hrsg. B.-O. Küppers. Serie Piper. Piper, München 1987, S.175-214. ISBN 3-492-10743-5
  • Hans Walser: Der Goldene Schnitt. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-8154-2511-5, ISBN 3-7281-2336-6
  • Marguerite Neveux, H. E Huntley: Le nombre d’or – Radiographie d’un mythe. Seuil, Paris 1995. ISBN 2-02-025916-8
  • Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum Akad. Verl., Heidelberg, Berlin - Oxford ²1996. ISBN 3-86025-404-9
  • Roger Herz-Fischler: A mathematical History of the Golden Ratio. Dover Publications, New York 1998. ISBN 0-486-40007-7
  • Jürgen Fredel: Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt. Lit Verlag, Hamburg 1998. ISBN 3-8258-3408-5 (Diss. Hamburg, 1993)
  • Thomas Koshy: Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. John Wiley & Sons, New York 2001, S.239-299. ISBN 0-471-39969-8
  • Albert van der Schoot: Die Geschichte des goldenen Schnitts. Frommann-Holzboog, Stuttgart - Bad Cannstatt 2005. ISBN 3-7728-2218-5
  • S. King u. a.: On the mystery of the golden angle in phyllotaxis. in: Plant, cell & environment (PC & E). Blackwell, Oxford 27.2004,6 (Juni), S.685-96. ISSN 0140-7791
  • Klaus Podirsky: Fremdkörper Erde - Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge und die Strukturbildung im Sonnensystem. Kontext. info3-Verlag 2004. ISBN 3-924391-29-7 (Die faszinierende These einer gemeinsamen Evolution von Kosmos, Erde und Mensch)

Einzelnachweise

  1. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Golden_ratio.html
  2. a b Lit.: Zeising, 1854
  3. Lit.: Ohm, 1835
  4. Lit.: Fechner, 1876
  5. Lit.: Neveux, 1995
 
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