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Baric-Algebra

Eine nicht-assoziative Algebra A über einem Körper K heißt Baric-Algebra, wenn es einen nichttrivialen Algebrahomomorphismus

$w:A\longrightarrow K$

gibt. $w$ wird Gewichtsfunktion genannt, $w (x)$ heißt Gewicht von $x \in A\,$ .

Charakterisierung

Eine nicht-assoziative $k$ -Algebra $A$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es so ein Ideal $I \subset A$ gibt, dass $A/I \cong k$
Eine nicht-assoziative $n$ -dimensionale $\mathbb{R}$ -Algebra $A$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn sie eine genetische Basis besitzt, das heißt zwischen den Basiselementen $u_1, u_2, \dots, u_k$ besteht eine Beziehung $u_i \cdot u_j = \sum_{k=1}^n \gamma_{ijk} u_k$ mit Koeffizienten $\gamma_{ijk} \in \mathbb{R}$ , für welche gilt: $\sum_{k=1}^n \gamma_{ijk} = 1, \; \gamma_{ijk} \geq 0$
Eine nicht-assoziative $n$ -dimensionale $\mathbb{R}$ -Algebra $A$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es ein $(n - 1)$ -dimensionales Ideal $N \subset A$ gibt, für das gilt: $A^{\rm 2} \nsubseteq N$

$\mathbb{R}^3$ mit dem Vektorprodukt als Multiplikation bildet eine nicht-assoziative $\mathbb{R}$ -Algebra. Dies ist keine Baric-Algebra, denn es gibt darin kein Ideal der Dimension 2, das aber benötigt würde, damit der Quotient zu $\mathbb{R}$ isomorph wäre.
$\mathbb{R}^2$ mit zwei Basisvektoren $e 1, e 2$ , auf denen eine Multiplikation folgendermaßen erklärt ist: $e_1 \cdot e_1 = e_2, \; e_1 \cdot e_2 = e_1, \; e_2 \cdot e_1 = e_2, \; e_2 \cdot e_2 = e_1$ . Damit ist eine genetische Basis gegeben und eine Baric-Algebra definiert, die Multiplikation ist nicht assoziativ: $(e_1 \cdot e_2) \cdot e_2 \neq e_1 \cdot (e_2 \cdot e_2)$ . Eine nicht-triviale Gewichtsfunktion ist $w (α 1 e 1 + α 2 e 2) = α 1 + α 2$ .
Gametische Algebra G der einfachen Mendel'schen Vererbung:

$\mathbb{R}^2$ mit zwei Basisvektoren

a 1, a 2

und folgender Multiplikationstafel:

.	$a 1$	$a 2$
$a 1$	$a 1$	${1 \over 2}a_1 + {1 \over 2}a_2$
$a 2$	${1 \over 2}a_1 + {1 \over 2}a_2$	$a 2$

ist eine Baric-Algebra mit Gewichtsfunktion

w (α 1 a 1 + α 2 a 2) = α 1 + α 2

Rudolf Lidl: Ringtheorie und Anwendungen: Grundlagen und Anwendungsbeispiele in der Kodierungstheorie und in der Genetik. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1980 ISBN 3-400-00371-9
Angelika Wörz-Busekros: Algebras in Genetics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1980 ISBN 3-540-09978-6.
I.M.H. Etherington: Genetic Algebras. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Vol. 59 pp.242-258, 1939

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